Gọi x₀  là nghiệm âm lớn nhất của \[\sin 9x + \sqrt 3 \cos 7x = \sin 7x + \sqrt 3 \cos 9x\]. Tìm x₀?

\[\sin 9x + \sqrt 3 \cos 7x = \sin 7x + \sqrt 3 \cos 9x\]

⇔ \[\sin 9x - \sqrt 3 \cos 9x = \sin 7x - \sqrt 3 \cos 7x\]

⇔ \(\sin \left( {9x - \frac{\pi }{3}} \right) = \sin \left( {7x - \frac{\pi }{3}} \right)\)

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}9x - \frac{\pi }{3} = 7x - \frac{\pi }{3} + k2\pi \\9x - \frac{\pi }{3} = \pi - \left( {7x - \frac{\pi }{3}} \right) + k2\pi \end{array} \right.\)

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x = k\pi \\x = \frac{{5\pi }}{{48}} + k\frac{\pi }{8}\end{array} \right.\)

Cho x < 0 ta được:

\(\left[ \begin{array}{l}k\pi < 0\\\frac{{5\pi }}{{48}} + k\frac{\pi }{8} < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}k < 0\\k < \frac{{ - 5}}{6}\end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{k_{\max }} = - 1\\{k_{\max }} = - 1\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \pi \\x = - \frac{\pi }{{48}}\end{array} \right.\)

So sánh hai nghiệm âm trên ta được nghiệm âm lớn nhất của phương trình là \(x = \frac{{ - \pi }}{{48}}\)

Vậy \({x_0} = \frac{{ - \pi }}{{48}}\).