Điều kiện xác định $\left\{\begin{array}{l}{x}^2-4\ge 0\\ x-\sqrt{x^2-4}\ge 0\\ x+\sqrt{x^2-4}\ge 0\end{array}\iff x\ge 2\right.$

Nhận xét: $\sqrt{x-\sqrt{x^2-4}}\cdot \sqrt{x+\sqrt{x^2-4}}=2$

Đặt $t=\sqrt{x-\sqrt{x^2-4}}(0<t\le \sqrt{2}).$ Phương trình trên trở thành: $2t^2-2t+\frac{2}{t}=2m\iff t^2-t+\frac{1}{t}=m$

Xét hàm số $f\left(t\right)=t^2-t+\frac{1}{t},$ với $0<t\le \sqrt{2}.$ Do đó $f^{\text{'}}\left(t\right)=2t-1-\frac{1}{t^2},f^{\text{'}}\left(t\right)=0\iff t=1.$

Dựa vào bảng biến thiên, để phương trình có nghiệm thì $m\ge 1$

Vì $m\in \mathbb{Z}$ và $m\in [-5;5]$ nên ta có $S=\{1;2;3;4;5\}.$ Vậy số tập con của tập hợp S là $2^5=32$

Chọn D