Gọi S là ập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số \(y = \left| {\frac{{{x^2} + mx + m}}{{}}x + 1} \right|\)  trên đoạn [1; 2] bằng 2. Số phần tử của tập S là

A. 3;

B. 1;

C. 4;

D. 2.

Đáp án đúng là: D

Xét hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + mx + m}}{{x + 1}}\)

Ta có \(y' = \frac{{{x^2} + 2x}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0 \notin \left[ {1;2} \right]\\x = - 2 \notin \left[ {1;2} \right]\end{array} \right.\)

Mặt khác \(f(1) = \frac{{2m + 1}}{2}\); \(f(2) = \frac{{3m + 4}}{3}\)

Do đó \(\max y = \max \left\{ {\left| {\frac{{2m + 1}}{2}} \right|;\,\,\left| {\frac{{3m + 4}}{3}} \right|} \right\}\)

TH1: \(\max y = \left| {\frac{{2m + 1}}{2}} \right| = 2 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}m = \frac{3}{2}\\m = - \frac{5}{2}\end{array} \right.\)

• Với \(m = \frac{3}{2} \Rightarrow \left| {\frac{{3m + 4}}{3}} \right| = \frac{{17}}{6} > 2\) (loại)

• Với \(m = - \frac{5}{2} \Rightarrow \left| {\frac{{3m + 4}}{3}} \right| = \frac{7}{6} < 2\) (thỏa mãn)

TH2: \(\max y = \left| {\frac{{3m + 4}}{3}} \right| = 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = \frac{2}{3}\\m = - \frac{{10}}{3}\end{array} \right.\)

• Với \(m = \frac{2}{3} \Rightarrow \left| {\frac{{2m + 1}}{2}} \right| = \frac{7}{6} < 2\) (thỏa mãn)

• Với \(m = - \frac{{10}}{3} \Rightarrow \left| {\frac{{2m + 1}}{2}} \right| = \frac{{17}}{6} > 2\) (loại)

Vậy có hai giá trị của m thỏa mãn.