Để $d:y=\left(m+1\right)x+6$  cắt đường thẳng $y=5x+m-2$  tại một điểm nằm trên trục tung thì $m+1\ne 5$  và phương trình hoành độ giao điểm của hai đường thẳng có nghiệm  $x=0$

 $$\begin{gathered} \iff \left\{\begin{array}{l}m+1\ne 5\\ \left(m+1\right).0+6=5.0+m-2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}m\ne 4\\ 6=m-2\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}m\ne 4\\ m=8\end{array}\right.\iff m=8\left(tmdkm\ne -1\right) \end{gathered}$$

Vậy $m=8$  là giá trị cần tìm.