Giải phương trình: \[{{\rm{x}}^2} - x + 1 = 2\sqrt {3{\rm{x}} - 1} \].

ĐKXĐ: \(x \ge \frac{1}{3}\)

Ta có: \[{{\rm{x}}^2} - x + 1 = 2\sqrt {3{\rm{x}} - 1} \]

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {x^2} + 2x + 1 = 3x + 2\sqrt {3x - 1} \\ \Leftrightarrow {(x + 1)^2} = (3x - 1) + 2\sqrt {3x - 1} + 1\\ \Leftrightarrow {(x + 1)^2} = {(\sqrt {3x - 1} + 1)^2}\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 1 = \sqrt {3x - 1} + 1}\\{x + 1 = - \sqrt {3x - 1} - 1}\end{array}} \right.\end{array}\)

Xét phương trình \(x + 1 = \sqrt {3{\rm{x}} - 1} + 1\)

\( \Leftrightarrow x = \sqrt {3{\rm{x}} - 1} \Leftrightarrow {x^2} = 3{\rm{x}} - 1 \Leftrightarrow {x^2} - 3x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{3 \pm \sqrt 5 }}{2}\) (thỏa mãn)

Xét phương trình \(x + 1 = - \sqrt {3{\rm{x}} - 1} - 1 \Leftrightarrow x + \sqrt {3{\rm{x}} - 1} + 2 = 0\)

Mà \[x \ge \frac{1}{3};\sqrt {3{\rm{x}} - 1} \ge 0;2 > 0\]

Suy ra \(x + \sqrt {3{\rm{x}} - 1} + 2 > 0\) nên phương trình \(x + 1 = - \sqrt {3{\rm{x}} - 1} - 1\) vô nghiệm

Vậy \(x = \frac{{3 \pm \sqrt 5 }}{2}\).