Giải phương trình: $x^2+6x+1=(2x+1)\sqrt{x^2+2x+3}$.

Điều kiện: x2 + 2x + 3 ≥ 0

$x^2+6x+1=(2x+1)\sqrt{x^2+2x+3}$

$\iff x^2+2x+3+4x+2=(2x+1)\sqrt{x^2+2x+3}$

Đặt $a=\sqrt{x^2+2x+3}$; b = 2x +1, phương trình trở thành:

a2 + 2b = ab + 4

⇔ a2 − 4−  ab +  2b = 0

⇔ (a − 2)(a + 2) − b(a − 2)  = 0

⇔ (a − 2)(a – b + 2) = 0

$\iff \left[\begin{array}{c}a=2\\ a-b=-2\end{array}\right.$.

• Với a = 2 $\iff \sqrt{x^2+2x+3}=2$

Û x2 + 2x – 1 = 0

$\iff \left[\begin{array}{c}x=\sqrt{2}-1\left(tm\right)\\ x=-\sqrt{2}-1\left(tm\right)\end{array}\right.$

• Với a – b = −2$\iff \sqrt{x^2+2x+3}-(2x+1)=-2$

$\iff \sqrt{x^2+2x+3}=2x-1$

⇔ x2 +  2x+ 3 = 4x2 − 4x + 1

⇔3x2 − 6x −  2 =0

$\iff \left[\begin{array}{c}x=\frac{3+\sqrt{15}}{3}\left(tm\right)\\ x=\frac{3-\sqrt{15}}{3}\left(tm\right)\end{array}\right.$

Vậy tập hợp giá trị x thỏa mãn là: $S=\left\{-1\pm \sqrt{2};\frac{3\pm \sqrt{15}}{3}\right\}$.