Giải phương trình: \(x\sqrt {x + 1} + \sqrt {3 - x} = 2\sqrt {{x^2} + 1} \).

Áp dụng bất đẳng thức Bunhia ta có:

\[x\sqrt {x + 1} + \sqrt {3 - x} \le \sqrt {\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {x + 1 + 3 - x} \right)} = \sqrt {4\left( {{x^2} + 1} \right)} = 2\sqrt {{x^2} + 1} \]

Nghĩa là vế trái luôn ≤ vế phải

Vậy dấu “=” xảy ra khi: \(\frac{x}{{\sqrt {x + 1} }} = \frac{1}{{\sqrt {3 - x} }}\)(điều kiện: –1 < x < 3)

⇔ x²(3 – x) = x + 1

⇔ 3x² – x³ – x – 1 = 0

⇔ –x³ + 3x² – x – 1 = 0

⇔ (x – 1)(–x² + 2x + 1) = 0

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x = 1\\ - {x^2} + 2x + 1 = 0\end{array} \right.\)

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = \sqrt 2 + 1\\x = - \sqrt 2 + 1\end{array} \right.\).