Giải phương trình sinx + 2sin2x = 3 + sin3x biết x ∈ [0; 2π].

sinx + 2sin2x = 3 + sin3x

⇔ 3 + sin3x – sinx – 2sin2x = 0

⇔ 3 + 2cos2xsinx – 2sin2x = 0

⇔ sin²2x + cos²2x + 2 + 2cos2xsinx – 2sin2x = 0

⇔ sin²2x + cos²2x + sin²x + cos²x + 1 + 2cos2xsinx – 2sin2x = 0

⇔ ( sin²2x – 2sin2x + 1) + (cos²2x + 2cos2xsinx + sin²x) + cos²x = 0

⇔ (sin2x – 1)² + (cos2x + sinx)² + (cos)² = 0

Ta thấy: (sin2x – 1)² + (cos2x + sinx)² + (cos)² ≥ 0 với mọi x

Để (*) xảy ra thì: \(\left\{ \begin{array}{l}\sin 2x = 1\\\cos 2x + \sin x = 0\\\cos x = 0\end{array} \right.\)

⇔ \[\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{4} + k\pi \\\cos 2x + \sin x = 0\\x = \frac{\pi }{2} + k\pi \end{array} \right.\]

⇔ \[\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{4} + k\pi \\\cos 2x + \sin x = 0\\x = \frac{\pi }{2} + k\pi \end{array} \right.\]

⇔ \[\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{4} + k\pi \\\cos 2x + \sin x = 0\\x = \frac{\pi }{2} + k\pi \end{array} \right.\]

⇔ Không có nghiệm nào x ∈ [0; 2π] thỏa mãn đồng thời 3 đẳng thức trên.

Vậy phương trình vô nghiệm.