Giải phương trình sau: \[{\rm{tanx}} + \tan \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = 1\].

Điều kiện xác định: \(\left\{ \begin{array}{l}x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \\x + \frac{\pi }{4} \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \\x \ne \frac{\pi }{4} + k\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Ta có:

\[{\rm{tanx}} + \tan \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = 1\]

\( \Leftrightarrow \tan x + \frac{{\tan x + \tan \frac{\pi }{4}}}{{1 - \tan x \cdot \tan \frac{\pi }{4}}} = 1\)

\( \Leftrightarrow \tan x + \frac{{\tan x + 1}}{{1 - \tan x}} = 1\)

⇔ tanx(1 – tanx) + tanx + 1 = 1 – tanx

⇔ tanx – tan²x + 2tanx = 0

⇔ 3tanx – tan²x = 0

⇔ tanx(3 – tanx) = 0

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\tan x = 0\\\tan x = 3\end{array} \right.\)

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k\pi \\x = \arctan 3 + k\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\]

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = kπ; x = arctan3 + kπ; k ∈ ℤ.