Giải phương trình sau: 7^x . 27^(1 - 1/x) = 3087
Giải phương trình sau: \({7^x}\,.\,{27^{\left( {1\, - \,\frac{1}{x}} \right)}} = 3087\).
ĐK: x ≠ 0
Ta có: \({7^x}\,.\,{27^{\left( {1\, - \,\frac{1}{x}} \right)}} = 3087\)
\( \Leftrightarrow {7^x}\,.\,{3^{3\left( {1\, - \,\frac{1}{x}} \right)}} = {7^3}\,.\,{3^2}\)
\( \Leftrightarrow {7^x}\,.\,{3^{3\, - \,\frac{3}{x}}} = {7^3}\,.\,{3^2}\)
\( \Leftrightarrow {7^{x - 3}} = {3^{2\, - \,\left( {3\, - \,\frac{3}{x}} \right)}}\)
\( \Leftrightarrow {7^{x - 3}} = {3^{\frac{3}{x}\, - \,1}}\)
Logarit cơ số 3 hai vế ta được: \({\log _3}{7^{x - 3}} = {\log _3}{3^{\frac{3}{x}\, - \,1}}\)
\( \Leftrightarrow \left( {x - 3} \right){\log _3}7 = \frac{3}{x} - 1\)
\( \Leftrightarrow \left( {x - 3} \right){\log _3}7 = - \frac{{x - 3}}{x}\)
\( \Leftrightarrow \left( {x - 3} \right)\left( {{{\log }_3}7 + \frac{1}{x}} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 3 = 0\\{\log _3}7 + \frac{1}{x} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\\x = \frac{{ - 1}}{{{{\log }_3}7}}\end{array} \right.\)
Vậy nghiệm của phương trình là \(x = \frac{{ - 1}}{{{{\log }_3}7}}\) và x = 3.