Giải phương trình: \(\sqrt {3x - 2} - \sqrt {x + 1} = 2{x^2} - x - 3\).

ĐK: \(x \ge \frac{3}{2}\).

\(\sqrt {3x - 2} - \sqrt {x + 1} = 2{x^2} - x - 3\)

\( \Leftrightarrow \sqrt {3x - 2} - \sqrt {x + 1} = \left( {x + 1} \right)\left( {2x - 3} \right)\)

\( \Leftrightarrow \sqrt {3x - 2} - \sqrt {x + 1} = \left( {x + 1} \right)\left[ {\left( {3x - 2} \right) - \left( {x + 1} \right)} \right]\)

\( \Leftrightarrow \sqrt {3x - 2} - \sqrt {x + 1} = \left( {x + 1} \right)\left( {\sqrt {3x - 2} - \sqrt {x + 1} } \right)\left( {\sqrt {3x - 2} + \sqrt {x + 1} } \right)\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt {3x - 2} - \sqrt {x + 1} = 0\\\left( {x + 1} \right)\left( {\sqrt {3x - 2} + \sqrt {x + 1} } \right) = 1\end{array} \right.\) (*)

Mà với \(x \ge \frac{3}{2}\) thì

\(\left( {x + 1} \right)\left( {\sqrt {3x - 2} + \sqrt {x + 1} } \right) \ge \left( {\frac{3}{2} + 1} \right)\left( {\sqrt {3\,.\,\frac{3}{2} - 2} + \sqrt {\frac{3}{2} + 1} } \right) = \frac{{5\sqrt {10} }}{4} > 1\)

Do đó \(\left( * \right) \Leftrightarrow \sqrt {3x - 2} = \sqrt {x + 1} \)

Û 3x − 2 = x + 1

Û 2x = 3

\( \Leftrightarrow x = \frac{3}{2}\).

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất \(x = \frac{3}{2}\).