Giải phương trình: \[\sqrt {2{x^2} + 11x + 19} + \sqrt {2{x^2} + 5x + 7} = 3\left( {x + 2} \right)\].

Đặt \[\sqrt {2{x^2} + 11x + 19} = a;\sqrt {2{x^2} + 5x + 7} = b\]

a² – b² = (2x² + 11x + 19) – (2x² + 5x + 7) = 6x +12 = 6(x + 2)

Ta có hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}a + b = 3\left( {x + 2} \right)\left( 1 \right)\\{a^2} - {b^2} = 6\left( {x + 2} \right)\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}a + b = 3\left( {x + 2} \right)\\\left( {a + b} \right)\left( {a - b} \right) = 6\left( {x + 2} \right)\end{array} \right.\)

⇔ a – b = 2

⇔ a = b + 2

Thay vào (1) khi đó ta có:

(b + 2) + b = 3(x + 2)

⇔ 2b = 3x + 4

⇔\[2\sqrt {2{x^2} + 5x + 7} = 3x + 4\]

⇔ 4(2x² + 5x + 7) = (3x + 4)² (điều kiện: x > \(\frac{{ - 4}}{3}\))

⇔ x² + 4x – 12 = 0

⇔ (x – 2)(x + 6) = 0

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = - 6\left( L \right)\end{array} \right.\)

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 2.