Giải phương trình: 2cos³x + cos2x + sinx = 0  (*)

Ta có: (*) ⇔ 2cos³x + 2cos²x – 1 + sinx = 0

⇔ 2cos²x(cosx + 1) – 1 + sinx = 0

⇔ 2(1 – sin²x)(1 + cosx) – (1 – sinx) = 0

⇔ (1 – sinx)[2(1 + sinx)(1 + cosx) – 1] = 0

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}1 - \sin x = 0\\1 + 2\sin x.\cos x + 2(\sin x + \cos x) = 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x = 1\\{(\sin x + \cos x)^2} + 2(\sin x + \cos x) = 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x = 1\\\sin x + \cos x = 0\\\sin x + \cos x = - 2\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x = 1\\\tan x = - 1\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \\x = - \frac{\pi }{4} + k2\pi \end{array} \right.\) (k ∈ ℤ)

Vậy phương trình có các họ nghiệm là: \(x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \); \(x = - \frac{\pi }{4} + k2\pi \) (k ∈ ℤ)