Giải phương trình \(10\sqrt {{x^3} + 1} = 3\left( {{x^2} + 2} \right)\).

Điều kiện xác định x ≥ –1

Ta có: \(10\sqrt {{x^3} + 1} = 3\left( {{x^2} + 2} \right)\)

\( \Leftrightarrow 10\sqrt {\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right)} = 3\left( {{x^2} + 2} \right)\)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}a = \sqrt {\left( {x + 1} \right)} \\b = \sqrt {\left( {{x^2} - x + 1} \right)} \end{array} \right.\left( {a,b \ge 0} \right)\)

Khi đó a² + b² = x² + 2

Phương trình trở thành:

10ab = 3(a² + b²)

⇔ 3a² + 3b² – 10ab = 0

⇔ 3a² – 9ab + 3b² – ab = 0

⇔ 3a(a – 3b) + b(3b – a) = 0

⇔ (a – 3b)(b – 3a) = 0

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a - 3b = 0\\b - 3{\rm{a}} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 3b\\b = 3{\rm{a}}\end{array} \right.\)

+) TH1: a = 3b

\( \Leftrightarrow \sqrt {x + 1} = 3\sqrt {{x^2} - x + 1} \)

⇔ x + 1 = 9(x² – x + 1)

⇔ 9x² – 10x + 8 = 0

\( \Leftrightarrow 9{{\rm{x}}^2} - 10{\rm{x}} + \frac{{25}}{9} + \frac{{47}}{9} = 0\)

\( \Leftrightarrow {\left( {3{\rm{x}} - \frac{5}{3}} \right)^2} + \frac{{47}}{9} = 0\) (vô nghiệm vì \({\left( {3{\rm{x}} - \frac{5}{3}} \right)^2} + \frac{{47}}{9} > 0;\forall x\))

+) TH2: b = 3a

\( \Leftrightarrow 3\sqrt {x + 1} = \sqrt {{x^2} - x + 1} \)

⇔ 9(x + 1) = x² – x + 1

⇔ x² – 10x – 8 = 0

⇔ x² – 10x + 25 – 33 = 0

⇔ (x² – 5)² – 33 = 0

\( \Leftrightarrow \left( {{\rm{x}} - 5 - \sqrt {33} } \right)\left( {{\rm{x}} - 5 + \sqrt {33} } \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 5 - \sqrt {33} \\x = 5 + \sqrt {33} \end{array} \right.\) (thỏa mãn)

Vậy \[{\rm{x}} = 5 \pm \sqrt {33} \].