Giải các phương trình sau:

a) $4^x=\sqrt{2\sqrt{2}}$

b) 9^5x = 27^{x – 2};

c) ${\log }_{81}x=\frac{1}{2}$

d) ${\log }_{\frac{1}{2}}(3x+1)={\log }_{\frac{1}{2}}(4x-1)$

e) ${\log }_5(x-2)+{\log }_5(x+2)=1$

g)  ${\log }_{x}8=\frac{3}{4}$

a) $4^x=\sqrt{2\sqrt{2}}={\left(\sqrt{8}\right)}^{\frac{1}{2}}={\left(8^{\frac{1}{2}}\right)}^{\frac{1}{2}}={\left(8\right)}^{\frac{1}{2}\text{\hspace{0.17em}}\cdot \frac{1}{2}}=8^{\frac{1}{4}}$

Khi đó $4^x=8^{\frac{1}{4}}\Rightarrow x={\log }_4{8}^{\frac{1}{4}}=\frac{1}{4}{\log }_{4}8=\frac{3}{8}$

Vậy phương trình có nghiệm là $x=\frac{3}{8}$

b) 9^5x = 27^{x – 2} ⇒ 3^10x = 3^{3(x – 2)};

10x = 3(x – 2)  7x = – 6 . $\Rightarrow x=-\frac{6}{7}$

Vậy phương trình có nghiệm là $x=-\frac{6}{7}$

c) Điều kiện x > 0  

Ta có ${\log }_{81}x=\frac{1}{2}\Rightarrow x={81}^{\frac{1}{2}}=\sqrt{81}=9$

Vậy phương trình có nghiệm là x = 9.

d) Điều kiện xác định $\left\{\begin{array}{l}3x+1>0\\ 4x-1>0\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}x>-\frac{1}{3}\\ x>\frac{1}{4}\end{array}\right.\Rightarrow x>\frac{1}{4}$

 Khi đó, phương trình đã cho tương đương với ${\log }_{\frac{1}{2}}(3x+1)={\log }_{\frac{1}{2}}(4x-1)$

⇔ 3x + 1 = 4x – 1

⇔ x = 2 (nhận)                                                                          

Vậy phương trình có nghiệm là x = 2.

e) ${\log }_5(x-2)+{\log }_5(x+2)=1$

Điều kiện xác định $\left\{\begin{array}{l}x-2>0\\ x+2>0\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}x>2\\ x>-2\end{array}\right.\Rightarrow x>2$

Khi đó, phương trình đã cho tương đương với

${\log }_5(x-2)+{\log }_5(x+2)=1$$\iff {\log }_5(x+2)(x-2)=1$

$\iff {\log }_5(x^2-4)=1$

⇔ x² – 4 = 5 ⇔ x²  = 9

 $\iff x=\sqrt{9}=3$ (nhận) hoặc $x=-\sqrt{9}=-3$  (loại)

Vậy phương trình có nghiệm là x = 3.

g) ${\log }_{x}8=\frac{3}{4}$

$\iff {\log }_x{2}^3=\frac{3}{4}$

$\iff 2=x^{\frac{1}{4}}$

 $\iff 2^4={\left(x^{\frac{1}{4}}\right)}^4\iff x=16$

Vậy nghiệm của phương trình là x = 16.