Giải các bất phương trình sau:

a) 32^2x  64^{x – 2} ;                             

b) $25.{\left(\frac{2}{5}\right)}^{x^2+2x+2}>4$  ;

c) log (11x + 1) < 2;                      

d) ${\log }_{\frac{1}{3}}(3x-1)\ge {\log }_{\frac{1}{3}}(2x+1)$ .

a) 32^2x  64^{x – 2}

⇔ 2^10x    2^{6(x – 2)}

⇔ 10x  6(x – 2) (do 2 > 1)

⇔ 4x  – 12 ⇔ x  – 3.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là S = (−3; +∞).

b) $25.{\left(\frac{2}{5}\right)}^{x^2+2x+2}>4$

$\iff {\left(\frac{2}{5}\right)}^{x^2+2x+2}>\frac{4}{25}$

$\iff {\left(\frac{2}{5}\right)}^{x^2+2x+2}>{\left(\frac{2}{5}\right)}^2$

⇔ x² + 2x + 2 < 2 (do $0<\frac{2}{5}<1$).

⇔ x²  + 2x < 0

⇔ – 2 < x < 0.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = (–2; 0).

c) log (11x + 1) < 2

Điều kiện: 11x +1 > 0 $\iff x>-\frac{1}{11}$

Khi đó, ta có: log (11x + 1) < 2 ⇔ 11x + 1 < 10²

⇔ 11x < 99 . $\iff x<\frac{99}{11}=9$

Kết hợp điều kiện, ta có nghiệm của bất phương trình là $S=\left(-\frac{1}{11};9\right)$

d) ${\log }_{\frac{1}{3}}\left(3x-1\right)\ge {\log }_{\frac{1}{3}}\left(2x+1\right)$

Điều kiện: $\left\{\begin{array}{l}3x-1>0\\ 2x+1>0\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}x>\frac{1}{3}\\ x>-\frac{1}{3}\end{array}\right.\Rightarrow x>\frac{1}{3}$

Khi đó, ta có ${\log }_{\frac{1}{3}}\left(3x-1\right)\ge {\log }_{\frac{1}{3}}\left(2x+1\right)$

$\iff 3x-1\le 2x+1$

 (do $0<\frac{1}{3}<1$)

Kết hợp điều kiện, ta có nghiệm của bất phương trình là $S=\left(-\frac{1}{3};2\right]$