Giải các bất phương trình sau:

a)  ${\log }_{\frac{1}{7}}\left(x+1\right)>{\log }_7\left(2-x\right)$;

a)  ${\log }_{\frac{1}{7}}\left(x+1\right)>{\log }_7\left(2-x\right)$

Điều kiện:  $\left\{\begin{array}{l}x+1>0\\ 2-x>0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x>-1\\ x<2\end{array}\right.\iff -1<x<2$.

Bất phương trình đã cho tương đương với  ${\log }_{7^{-1}}\left(x+1\right)>{\log }_7\left(2-x\right)$

⇔ – log_7­(x + 1) > log₇(2 – x)

⇔ log₇(x + 1)^{– 1} > log₇(2 – x)

⇔ (x + 1)^{– 1} > 2 – x         (do 7 > 1).

 $\iff \frac{1}{x+1}-2+x>0$

 $\iff \frac{1+\left(x-2\right)\left(x+1\right)}{x+1}>0$

 $\iff \frac{x^2-x-1}{x+1}>0$ (*)

Mà – 1 < x < 2 nên x + 1 > 0, do đó (*) ⇔ x² – x – 1 > 0  $\iff \left[\begin{array}{l}x<\frac{1-\sqrt{5}}{2}\\ x>\frac{1+\sqrt{5}}{2}\end{array}\right.$.

Kết hợp với điều kiện ta được  $\left[\begin{array}{l}-1<x<\frac{1-\sqrt{5}}{2}\\ \frac{1+\sqrt{5}}{2}<x<2\end{array}\right.$.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là  $S=\left(-1;\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)\cup \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2};2\right)$.