Giải bất phương trình:

a) 3x² – x + 1 > 0

b) 2x² – 5x + 4 < 0.

a) Ta có: 3x² – x + 1

\( = 3\left( {{x^2} - \frac{1}{3}x} \right) + 1\)

\( = 3\left( {{x^2} - \frac{1}{3}x + \frac{1}{{36}}} \right) + \frac{{11}}{{12}}\)

\( = 3{\left( {x - \frac{1}{6}} \right)^2} + \frac{{11}}{{12}}\)

Ta có:

\({\left( {x - \frac{1}{6}} \right)^2} \ge 0,\forall x \in \mathbb{R}\)

Suy ra:

\(3{x^2} - x + 1 = 3{\left( {x - \frac{1}{6}} \right)^2} + \frac{{11}}{{12}} \ge \frac{{11}}{{12}} > 0;\forall x \in \mathbb{R}\)

Do đó bất phương trình 3x² – x + 1 > 0 luôn đúng với mọi x ∈ R

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là R.

b) Ta có:

2x² – 5x + 4

\( = 2\left( {{{\rm{x}}^2} - \frac{5}{2}x} \right) + 4\)

\( = 2\left( {{{\rm{x}}^2} - \frac{5}{2}x + \frac{{25}}{{16}}} \right) + \frac{7}{8}\)

\( = 2{\left( {{\rm{x}} - \frac{5}{4}} \right)^2} + \frac{7}{8}\)

Vì \(2{\left( {{\rm{x}} - \frac{5}{4}} \right)^2} \ge 0;\forall x \in \mathbb{R}\)

Nên \(2{\left( {{\rm{x}} - \frac{5}{4}} \right)^2} + \frac{7}{8} > 0;\forall x \in \mathbb{R}\)

Suy ra bất phương trình 2x² – 5x + 4 < 0 vô nghiệm

Vậy bất phương trình 2x² – 5x + 4 < 0 vô nghiệm.