Giả sử M, N, P là ba điểm lần lượt nằm trên ba cạnh SA, SB, SC của tứ diện S.ABC. Gọi I là giao điểm của ba mặt phẳng (BCM), (CAN), (ABP) và J là giao điểm của ba mặt phẳng (ANP), (BPM), (CMN). Ta được S, I, J thẳng hàng. Tính đẳng thức nào sau đây đúng?

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Xác định vị trí các điểm M, N lần lượt trên AC và DC’ sao cho MN // BD’. Tính tỉ số $\frac{\mathrm{MN}}{\mathrm{BD}\text{'}}$bằng?

Cho tứ diện ABCD. Gọi E, F là các điểm thỏa mãn $\overrightarrow{\mathrm{EA}}=\mathrm{k}\overrightarrow{\mathrm{EB}},\overrightarrow{\mathrm{FD}}=\mathrm{k}\overrightarrow{\mathrm{FC}}$ còn P, Q, R là các điểm xác định bởi $\overrightarrow{\mathrm{PA}}=\mathrm{l}\overrightarrow{\mathrm{PD}},$$\overrightarrow{\mathrm{QE}}=\mathrm{l}\overrightarrow{\mathrm{QF}},$$\overrightarrow{\mathrm{RB}}=\mathrm{l}\overrightarrow{\mathrm{RC}}$. Chứng minh ba điểm P, Q, R thẳng hàng. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD, G là trung điểm của IJ. Xác định vị trí của M để $\left|\overrightarrow{\mathrm{MA}}+\overrightarrow{\mathrm{MB}}+\overrightarrow{\mathrm{MC}}+\overrightarrow{\mathrm{MD}}\right|$ nhỏ nhất.

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ và các điểm M, N, P xác định bởi $\overrightarrow{\mathrm{MA}}=\mathrm{k}\overrightarrow{\mathrm{MB}\text{'}}\left(\mathrm{k}\ne 0\right),$$\overrightarrow{\mathrm{NB}}=\mathrm{x}\overrightarrow{\mathrm{NC}\text{'}},$$\overrightarrow{\mathrm{PC}}=\mathrm{y}\overrightarrow{\mathrm{PD}\text{'}}$. Hãy tính x, y theo k để ba điểm M, N, P thẳng hàng.

Cho ba vectơ $\overrightarrow{\mathrm{a}},\overrightarrow{\mathrm{b}}\overrightarrow{,\mathrm{c}}$ không đồng phẳng. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Một đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ cắt các đường thẳng AA’, BC, C’D’ lần lượt tại M, N, P sao cho $\overrightarrow{\mathrm{NM}}=2\overrightarrow{\mathrm{NP}}$. Tính $\frac{\mathrm{MA}}{\mathrm{MA}\text{'}}$.

Trong không gian cho hai tia Ax, By chéo nhau sao cho AB vuông góc với cả hai tia đó. Các điểm M, N  lần lượt thay đổi trên Ax, By sao cho độ dài đoạn MN luôn bằng giá trị c không đổi (c$\le$AB). Gọi $\mathrm{\phi }$ là góc giữa Ax, By. Giá trị lớn nhất của AM.BN là:

Cho tứ diện ABCD. Lấy các điểm M, N, P, Q lần lượt thuộc AB, BC, CD, AD sao cho $\overrightarrow{\mathrm{AM}}=\frac{1}{3}\overrightarrow{\mathrm{AB}},$$\overrightarrow{\mathrm{BN}}=\frac{2}{3}\overrightarrow{\mathrm{BC}},$$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{AD}},$$\overrightarrow{\mathrm{DP}}=\mathrm{k}\overrightarrow{\mathrm{DC}}$. Hãy xác định k để M, N, P, Q đồng phẳng

Cho hình hộp ABCD.${\mathrm{A}}_1{\mathrm{B}}_1{\mathrm{C}}_1{\mathrm{D}}_1$. M là điểm trên cạnh AD sao cho $\overrightarrow{\mathrm{AM}}=\frac{1}{3}\overrightarrow{\mathrm{AD}}$. N là điểm trên đường thẳng ${\mathrm{BD}}_1$. P là điểm trên đường thẳng ${\mathrm{CC}}_1$ sao cho M, N, P thẳng hàng. Tính $\frac{\left|\overrightarrow{\mathrm{MN}}\right|}{\left|\overrightarrow{\mathrm{NP}}\right|}=\frac{2}{3}$