Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Một đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ cắt các đường thẳng AA’, BC, C’D’ lần lượt tại M, N, P sao cho $\overrightarrow{\mathrm{NM}}=2\overrightarrow{\mathrm{NP}}$. Tính $\frac{\mathrm{MA}}{\mathrm{MA}\text{'}}$.

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Xác định vị trí các điểm M, N lần lượt trên AC và DC’ sao cho MN // BD’. Tính tỉ số $\frac{\mathrm{MN}}{\mathrm{BD}\text{'}}$bằng?

Cho tứ diện ABCD. Gọi E, F là các điểm thỏa mãn $\overrightarrow{\mathrm{EA}}=\mathrm{k}\overrightarrow{\mathrm{EB}},\overrightarrow{\mathrm{FD}}=\mathrm{k}\overrightarrow{\mathrm{FC}}$ còn P, Q, R là các điểm xác định bởi $\overrightarrow{\mathrm{PA}}=\mathrm{l}\overrightarrow{\mathrm{PD}},$$\overrightarrow{\mathrm{QE}}=\mathrm{l}\overrightarrow{\mathrm{QF}},$$\overrightarrow{\mathrm{RB}}=\mathrm{l}\overrightarrow{\mathrm{RC}}$. Chứng minh ba điểm P, Q, R thẳng hàng. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD, G là trung điểm của IJ. Xác định vị trí của M để $\left|\overrightarrow{\mathrm{MA}}+\overrightarrow{\mathrm{MB}}+\overrightarrow{\mathrm{MC}}+\overrightarrow{\mathrm{MD}}\right|$ nhỏ nhất.

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ và các điểm M, N, P xác định bởi $\overrightarrow{\mathrm{MA}}=\mathrm{k}\overrightarrow{\mathrm{MB}\text{'}}\left(\mathrm{k}\ne 0\right),$$\overrightarrow{\mathrm{NB}}=\mathrm{x}\overrightarrow{\mathrm{NC}\text{'}},$$\overrightarrow{\mathrm{PC}}=\mathrm{y}\overrightarrow{\mathrm{PD}\text{'}}$. Hãy tính x, y theo k để ba điểm M, N, P thẳng hàng.

Cho ba vectơ $\overrightarrow{\mathrm{a}},\overrightarrow{\mathrm{b}}\overrightarrow{,\mathrm{c}}$ không đồng phẳng. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

Trong không gian cho hai tia Ax, By chéo nhau sao cho AB vuông góc với cả hai tia đó. Các điểm M, N  lần lượt thay đổi trên Ax, By sao cho độ dài đoạn MN luôn bằng giá trị c không đổi (c$\le$AB). Gọi $\mathrm{\phi }$ là góc giữa Ax, By. Giá trị lớn nhất của AM.BN là:

Giả sử M, N, P là ba điểm lần lượt nằm trên ba cạnh SA, SB, SC của tứ diện S.ABC. Gọi I là giao điểm của ba mặt phẳng (BCM), (CAN), (ABP) và J là giao điểm của ba mặt phẳng (ANP), (BPM), (CMN). Ta được S, I, J thẳng hàng. Tính đẳng thức nào sau đây đúng?

Cho tứ diện ABCD. Lấy các điểm M, N, P, Q lần lượt thuộc AB, BC, CD, AD sao cho $\overrightarrow{\mathrm{AM}}=\frac{1}{3}\overrightarrow{\mathrm{AB}},$$\overrightarrow{\mathrm{BN}}=\frac{2}{3}\overrightarrow{\mathrm{BC}},$$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{AD}},$$\overrightarrow{\mathrm{DP}}=\mathrm{k}\overrightarrow{\mathrm{DC}}$. Hãy xác định k để M, N, P, Q đồng phẳng

Cho hình hộp ABCD.${\mathrm{A}}_1{\mathrm{B}}_1{\mathrm{C}}_1{\mathrm{D}}_1$. M là điểm trên cạnh AD sao cho $\overrightarrow{\mathrm{AM}}=\frac{1}{3}\overrightarrow{\mathrm{AD}}$. N là điểm trên đường thẳng ${\mathrm{BD}}_1$. P là điểm trên đường thẳng ${\mathrm{CC}}_1$ sao cho M, N, P thẳng hàng. Tính $\frac{\left|\overrightarrow{\mathrm{MN}}\right|}{\left|\overrightarrow{\mathrm{NP}}\right|}=\frac{2}{3}$