Giả sử Đa là phép đối xứng trục qua đường thẳng a. Ta chọn hệ tọa độ Oxy sao cho trục Ox trùng với a

Khám phá 2 trang 15 Chuyên đề Toán 11: Giả sử Đ_a là phép đối xứng trục qua đường thẳng a. Ta chọn hệ tọa độ Oxy sao cho trục Ox trùng với a. Lấy hai điểm tùy ý A(x_A; y_A) và B(x_B; y_B). Gọi A’, B’ lần lượt là ảnh của A, B qua phép đối xứng trục a (Hình 3). Xác định tọa độ của A’ và B’ rồi dùng công thức tính khoảng cách để so sánh A’B’ và AB.

Trả lời

⦁ Ta có A’ là ảnh của A qua Đ_a.

Suy ra a là đường trung trực của đoạn thẳng AA’ hay Ox là đường trung trực của đoạn thẳng AA’.

Do đó A’ đối xứng với A qua Ox nên chúng có cùng hoành độ và có tung độ đối nhau.

Vì vậy tọa độ A’(x_A; –y_A).

Tương tự như vậy, ta được tọa độ B’(x_B; –y_B).

Vậy tọa độ A’(x_A; –y_A) và B’(x_B; –y_B).

⦁ Ta có $\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\left(x_B-x_A;y_B-y_A\right)$.

Suy ra $\mathrm{AB}=\sqrt{{\left(x_B-x_A\right)}^2+{\left(y_B-y_A\right)}^2}$.

Ta lại có $\overrightarrow{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}=\left(x_B-x_A;-y_B+y_A\right)$.

Suy ra:

$A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}=\sqrt{{\left(x_B-x_A\right)}^2+{\left(-y_B+y_A\right)}^2}=\sqrt{{\left(x_B-x_A\right)}^2+{\left(y_B-y_A\right)}^2}$.

Vậy A’B’ = AB.

Xem thêm các bài giải Chuyên đề Toán 11 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài 1: Phép biến hình và phép dời hình

Bài 2: Phép tịnh tiến

Bài 3: Phép đối xứng trục

Bài 4: Phép đối xứng tâm

Bài 5: Phép quay

Bài 6: Phép vị tự