Đường thẳng vuông góc với AO tại O cắt AB và AC lần lượt tại P và Q

Trả lời

Theo tính chất của hai tiếp tuyến của hai đường tròn, ta có:

$DOM=\frac{1}{2}BOM, MOE=\frac{1}{2}MOC$

Cộng vế theo vế, ta được:

$DOE=\frac{1}{2}BOC$

Mà $\frac{1}{2}BOC=AOC=OQE$  (vì AOC và OQE cùng phụ với QAO)

Nên $DOE=OQE$

Xét tam giác ODE và tam giác QOE, ta có:

$DOE=QOE$ (cmt)

$OED=OEQ$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

$\Rightarrow \Delta ODE~\Delta QOE$ (g.g)

Chứng minh tương tự $\Rightarrow \Delta ODE~\Delta PDO$

$\Rightarrow \Delta QOE~\Delta PDO$ (tính chất bắc cầu)

$\Rightarrow \frac{QO}{PD}=\frac{QE}{PO}\Rightarrow PD.QE=PO.QO=\frac{PQ}{2}.\frac{PQ}{2}=\frac{P{Q}^2}{4}$

$\Rightarrow 4PD.QE=P{Q}^2$. (đpcm)