Đường thẳng d tạo với đường thẳng $∆$: x + 2y – 6 = 0 một góc 45°. Hệ số góc k của đường thẳng d là:

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Đường thẳng D: x + 2y – 6 = 0 có vectơ pháp tuyến là ${\overrightarrow{n}}_{\Delta }=\left(1;2\right)$.

Gọi ${\overrightarrow{n}}_d=\left(a;b\right)$ là vectơ pháp tuyến của đường thẳng d.

Khi đó hệ số góc của đường thẳng d là $k=-\frac{a}{b}$.

Góc giữa hai đường thẳng d và $∆$ là 45° nên ta có:

$\text{cos}\left(d,\Delta \right)=\left|\text{cos}\left({\overrightarrow{n}}_d,{\overrightarrow{n}}_{\Delta }\right)\right|=c\text{os45}°$

Hay $\frac{\left|1.a+2.b\right|}{\sqrt{1^2+2^2}.\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$

$\iff \sqrt{5}.\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{2}.\left|a+2b\right|$

Û 5(a² + b²) = 2(a + 2b)²

Û 5a² + 5b² = 2a² + 8ab + 8b²

Û 3a² – 8ab – 3b² = 0

$\iff \left[\begin{array}{l}a=3b\\ a=-\frac{1}{3}b\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}\frac{a}{b}=3\\ \frac{a}{b}=-\frac{1}{3}\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}k=-\frac{a}{b}=-3\\ k=-\frac{a}{b}=\frac{1}{3}\end{array}\right.$.

Vậy ta chọn phương án A.