d) Chứng minh rằng CC’ // (ABB’A’). Tính khoảng cách giữa đường thẳng CC’ và mặt phẳng (ABB’A’).

d) Do B’C’CB là hình vuông nên CC’ // BB’.

Mà BB’ ⊂ (ABB’A’) nên CC’ // (ABB’A’).

Khi đó d(CC’, (ABB’A’)) = d(C, (ABB’A’)).

Do AA’ ⊥ (ABC) và CM ⊂ (ABC) nên AA’ ⊥ CM.

Vì tam giác ABC đều có CM là đường trung tuyến nên đồng thời là đường cao của tam giác hay CM ⊥ AB.

Ta có: CM ⊥ AA’, CM ⊥ AB và AA’ ∩ AB = A trong (ABB’A’).

Suy ra CM ⊥ (ABB’A’).

Khi đó d(C, (ABB’A’)) = CM.

Do M là trung điểm của AB nên $BM=\frac{AB}{2}=\frac{a}{2}.$

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác CBM vuông tại M (do CM ⊥ AB) có:

BC² = BM² + CM²

Suy ra $CM=\sqrt{B{C}^2-B{M}^2}=\sqrt{a^2-{\left(\frac{a}{2}\right)}^2}=\frac{a\sqrt{3}}{2}.$

Do đó $d\left(C{C}^{\text{'}},\left(AB{B}^{\text{'}}{A}^{\text{'}}\right)\right)=d\left(C,\left(AB{B}^{\text{'}}{A}^{\text{'}}\right)\right)=CM=\frac{a\sqrt{3}}{2}.$

Vậy khoảng cách giữa đường thẳng CC’ và mặt phẳng (ABB’A’) bằng $\frac{a\sqrt{3}}{2}.$