Cổng Arch tại thành phố St Louis của Mỹ có hình dạng là một parabol (hình vẽ). Biết khoảng cách giữa hai chân cổng bằng 162 m. Trên thành cổng, tại vị trí có độ cao 43 m so với mặt đất (điểm

Cổng Arch tại thành phố St Louis của Mỹ có hình dạng là một parabol (hình vẽ). Biết khoảng cách giữa hai chân cổng bằng 162 m. Trên thành cổng, tại vị trí có độ cao 43 m so với mặt đất (điểm M), người ta thả một sợi dây chạm đất (dây căng thẳng theo phương vuông góc với đất). Vị trí chạm đất của đầu sợi dây này cách chân cổng A một đoạn 10 m. Giả sử các số liệu trên là chính xác. Hãy tính độ cao của cổng Arch (tính từ mặt đất đến điểm cao nhất của cổng).

Trả lời

Chọn hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ.

Phương trình Parabol (P) có dạng: y = ax² + bx + c.

Parabol (P) đi qua điểm A(0; 0), B(162; 0), M(10; 43) nên ta có:

$\left\{\begin{array}{l}c=0\\ {162}^{2}a+162b+c=0\\ {10}^{2}a+10b+c=43\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}c=0\\ a=-\frac{43}{1520}\\ b=\frac{3483}{760}\end{array}\right.$

$\Rightarrow \left(P\right):y=-\frac{43}{1520}{x}^2+\frac{3483}{760}x$

Do đó chiều cao của cổng là:

 $h=-\frac{\Delta }{4a}=-\frac{b^2-4ac}{4a}=\frac{{\left(\frac{3483}{760}\right)}^2-4.\left(-\frac{43}{1520}\right).0}{4.\left(-\frac{43}{1520}\right)}\approx 185,6\left(m\right)$.

Vậy độ cao của cổng Arch (tính từ mặt đất đến điểm cao nhất của cổng) khoảng 185,6 m.