Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình \({2^{2x + 4}} - {3^{{x^2}}}\,.\,m = 0\) có hai nghiệm thực phân biệt?

Ta có: \({2^{2x + 4}} - {3^{{x^2}}}\,.\,m = 0\)

\( \Leftrightarrow {2^{2x + 4}} = {3^{{x^2}}}\,.\,m\)

\( \Leftrightarrow {\log _3}{2^{2x + 4}} = {\log _3}\left( {{3^{{x^2}}}\,.\,m} \right)\)

Û (2x + 4)log₃ 2 = x² + log₃ m

Û x² − 2xlog₃ 2 + log₃ m − 4log₃ 2 = 0

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì: ∆¢ > 0

Û (log₃ 2)² − log₃ m + 4log₃ 2 > 0

\( \Leftrightarrow {\left( {{{\log }_3}2} \right)^2} - {\log _3}\frac{m}{{16}} > 0\)

\( \Leftrightarrow \frac{m}{{16}} < {3^{{{\left( {{{\log }_3}2} \right)}^2}}}\)

\( \Leftrightarrow m < 16\,.\,{3^{{{\left( {{{\log }_3}2} \right)}^2}}}\)

Mà m > 0 nên m Î {1; 2; 3; 4; …; 24}.

Vậy có 24 số m thỏa mãn yêu cầu bài toán.