Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình \(\sqrt[3]{{m + 3\sqrt[3]{{m + 3\sin x}}}} = \sin x\) có nghiệm thực?

A. 5;

B. 7;

C. 3;

D. 2.

Đáp án đúng là: A

Đặt \(\sqrt[3]{{m + 3\sin x}} = a\); sinx = b.

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt[3]{{m + 3a}} = b\\\sqrt[3]{{m + 3b}} = a\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m + 3a = {b^3}\\m + 3b = {a^3}\end{array} \right.\)

⇒ 3(a – b) = b³ – a³ = (b – a)(b² + ba + a²)

⇔ (b – a)(b² + ba + a² + 3) = 0

Do b² + ba + a² + 3 > 0 ⇒ a = b = m + 3sinx = sin³x

⇔ m = sin³x – 3sinx = b³ – 3b = f(b).

Xét f(b) = b³ – 3b (b ∈ [−1; 1]).

Do đó hàm số f(b) nghịch biến trên [−1; 1].

Khi đó f(b) ∈ [f(1); f(−1)] = [−2; 2].

Do đó phương trình đã cho có nghiệm ⇔ m ∈ [−2; 2].

Vậy có 5 giá trị nguyên của m thỏa mãn.