Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình |sin x - cos x | + 4 sin 2x = m có nghiệm thực

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình $|\sin x-\cos x|+4\sin 2x=m$ có nghiệm thực?

Trả lời

Đặt $t=|\sin x-\cos x|=\sqrt{2}\left|\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)\right|\in [0;\sqrt{2}]$ 

$\Rightarrow t^2=1-\sin 2x\iff \sin 2x=1-t^2.$

Phương trình đã cho trở thành $t+4\left(1-t^2\right)=m\iff -4t^2+t+4=m(*)$

Phương trình đã cho có nghiệm thực $\iff$ Phương trình (*) có nghiệm thực trền $[0;\sqrt{2}].$

Xét hàm số $f\left(t\right)=-4t^2+t+4$ trên $[0;\sqrt{2}].$

Ta có $f^{\text{'}}\left(t\right)=-8t+1\Rightarrow f^{\text{'}}\left(t\right)=0\iff -8t+1=0\iff t=\frac{1}{8}.$

Ta có bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta có yêu cầu bài toán $\iff \sqrt{2}-4\le m\le \frac{65}{16}.$

Do $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m\in \{-2;-1;0;1;2;3;4\}.$ Vậy có 7 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn A