Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y = x^3 - 3(m + 2)x^2
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y = x3 − 3(m + 2)x2 + 3(m2 + 4m)x + 1 nghịch biến trên khoảng (0; 1)?
Xét hàm số y = x3 − 3(m + 2)x2 + 3(m2 + 4m)x + 1
Þ y¢ = 3x2 − 6(m + 2)x + 3(m2 + 4m)
Hàm số y = x3 − 3(m + 2)x2 + 3(m2 + 4m)x + 1 nghịch biến trên khoảng (0; 1)
Û y¢ ≤ 0, "x Î (0; 1) và bằng 0 tại hữu hạn điểm trên (0; 1)
Û 3x2 − 6(m + 2)x + 3(m2 + 4m), "x Î (0; 1)
Xét phương trình: 3x2 − 6(m + 2)x + 3(m2 + 4m) = 0 (*)
∆¢ = 9(m + 2)2 − 3.3.(m2 + 4m) = 36 > 0, "m
Suy ra phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt x1, x2
Để hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 1) thì x1 ≤ 0 < 1 ≤ x2
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1}{x_2} \le 0\\\left( {1 - {x_1}} \right)\left( {1 - {x_2}} \right) \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1}{x_2} \le 0\\1 + {x_1}{x_2} - \left( {{x_1} + {x_2}} \right) \le 0\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} + 4m \le 0\\1 + {m^2} + 4m - 2m - 4 \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 4 \le m \le 0\\ - 3 \le m \le 1\end{array} \right.\)
Û −3 ≤ m ≤ 0
Mà m Î ℤ Þ m Î {−3; −2; −1; 0}
Vậy có 4 giá trị nguyên của m thỏa mãn.