Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình \(\sqrt[3]{{m + 3\sqrt[3]{{m + 3\sin x}}}} = \sin x\) có nghiệm thực?

Ta có: \(\sqrt[3]{{m + 3\sqrt[3]{{m + 3\sin x}}}} = \sin x\)

⇔ m + \(3\sqrt[3]{{m + 3\sin x}}\)= sin³x

Đặt \(\sqrt[3]{{m + 3\sin x}} = u\) thì m + 3sinx = u³ thì phương trình trên trở thành:

m + 3u = sin³x

Đặt sinx = v thì ta được: \(\left\{ \begin{array}{l}m + 3v = {u^3}\\m + 3u = {v^3}\end{array} \right.\)

Suy ra: 3(v – u) + (v – u)(v² + uv + u² ) = 0

⇔ (v – u)(3 + v² + uv + u² ) = 0

Do 3 + v² + uv + u² > 0, ∀ u,v nên phương trình trên tương đương u = v

Suy ra: \(\sqrt[3]{{m + 3\sin x}} = \sin x\) hay m = sin³x – 3sinx

Đặt sinx = t (−1 ≤ t ≤ 1) và xét hàm f(t) = t³ − 3t trên [−1;1] có:

f′(t) = 3t² – 3 ≤ 0, ∀t ∈ [−1;1]

Nên hàm số nghịch biến trên [−1;1]

⇒ −1 = f (1) ≤ f(t) ≤ f(−1) = 2

⇒ −2 ≤ m ≤ 2

Vậy m ∈ {−2; −1; 0; 1; 2}.