Chứng tỏ rằng $\frac{12n+1}{30n+2}$  là phân số tối giản (n ∈ ℕ).

Để chứng minh $\frac{12n+1}{30n+2}$  là phân số tối giản (n ∈ ℕ), ta cần chứng minh phân số này có tử và mẫu là hai số nguyên tố cùng nhau (ước chung lớn nhất của hai số đó bằng 1).

Gọi d là ước chung của 12n + 1 và 30n + 2 (n ∈ ℕ).

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}12n+1⋮d\\ 30n+2⋮d\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}5.\left(12n+1\right)⋮d\\ 2.\left(30n+2\right)⋮d\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}60n+5⋮d\\ 60n+4⋮d\end{array}\right.$

⇒ (60n + 5) – (60n + 4) ⋮ d.

⇒ 1 ⋮ d.

⇒ d = 1.

Do đó 12n + 1 và 30n + 2 là hai số nguyên tố cùng nhau.

Vậy phân số $\frac{12n+1}{30n+2}$  là phân số tối giản (n ∈ ℕ).