Chứng minh rằng không tồn tại giới hạn lim x tới + vô cùng sin x
Chứng minh rằng không tồn tại giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \sin x\).
Xét hai dãy số (an) với an = 2nπ và (bn) = \(\frac{\pi }{2} + 2\pi n\left( {n \in {\mathbb{N}^*}} \right)\)
Ta có: lim an = lim 2nπ = +∞
lim bn = \(\lim \left( {\frac{\pi }{2} + 2\pi n} \right) = \lim n\left( {\frac{\pi }{{2n}} + 2\pi } \right) = + \infty \)
lim sinan = lim sin2nπ = lim 0 = 0
lim sinbn = \(\lim \sin \left( {\frac{\pi }{2} + 2\pi n} \right) = \lim 1 = 1\)
Như vậy an ⇒ +∞, bn ⇒ +∞ nhưng lim sinan ≠ lim sinbn
Do đó theo định nghĩa, hàm số y = sin x không có giới hạn khi x ⇒ +∞