Chứng minh rằng: a) k tổ hợp chập k của n phần tử = n tổ hợp chập k-1 của n-1 phần tử với 1 ≤ k ≤ n
Bài 27 trang 14 SBT Toán 10 Tập 2:
Chứng minh rằng:
a) kCkn=nCk−1n−1 với 1 ≤ k ≤ n.
b) 1k+1Ckn=1n+1Ck+1n+1 với 0 ≤ k ≤ n.
a) Ta có kCkn=k.n!k!.(n−k)!
=k.n!k.(k−1)!.(n−k)!=n.(n−1)!(k−1)!.[(n−1)−(k−1)]!=nCk−1n−1
Vậy kCkn=nCk−1n−1 với 1 ≤ k ≤ n.
b) Ta có 1k+1Ckn=1k+1.n!k!.(n−k)!
=n!(k+1)!.(n−k)!=1n+1.(n+1).n!(k+1)!.[(n+1)−(k+1)]!=1n+1.(n+1)!(k+1)!.[(n+1)−(k+1)]!=1n+1Ck+1n+1
Vậy 1k+1Ckn=1n+1Ck+1n+1 với 0 ≤ k ≤ n.
Xem thêm lời giải sách bài tập Toán lớp 10 Cánh diều với cuộc sống hay, chi tiết khác: