Chứng minh rằng: a) k tổ hợp chập k của n phần tử = n tổ hợp chập k-1 của n-1 phần tử với 1 ≤ k ≤ n

Bài 27 trang 14 SBT Toán 10 Tập 2:

Chứng minh rằng:

a) $k{C}_n^k=n{C}_{n-1}^{k-1}$  với 1 ≤ k ≤ n.

b) $\frac{1}{k+1}{C}_n^k=\frac{1}{n+1}{C}_{n+1}^{k+1}$  với 0 ≤ k ≤ n.

Trả lời

a) Ta có $k{C}_n^k=k.\frac{n!}{k!.\left(n-k\right)!}$

$$\begin{gathered} =\frac{k.n!}{k.\left(k-1\right)!.\left(n-k\right)!} \\ =\frac{n.\left(n-1\right)!}{\left(k-1\right)!.\left[\left(n-1\right)-\left(k-1\right)\right]!} \\ =n{C}_{n-1}^{k-1} \end{gathered}$$

Vậy $k{C}_n^k=n{C}_{n-1}^{k-1}$  với 1 ≤ k ≤ n.

b) Ta có $\frac{1}{k+1}{C}_n^k=\frac{1}{k+1}.\frac{n!}{k!.\left(n-k\right)!}$

$$\begin{gathered} =\frac{n!}{\left(k+1\right)!.\left(n-k\right)!} \\ =\frac{1}{n+1}.\frac{\left(n+1\right).n!}{\left(k+1\right)!.\left[\left(n+1\right)-\left(k+1\right)\right]!} \\ =\frac{1}{n+1}.\frac{\left(n+1\right)!}{\left(k+1\right)!.\left[\left(n+1\right)-\left(k+1\right)\right]!} \\ =\frac{1}{n+1}{C}_{n+1}^{k+1} \end{gathered}$$

Vậy $\frac{1}{k+1}{C}_n^k=\frac{1}{n+1}{C}_{n+1}^{k+1}$  với 0 ≤ k ≤ n.

Xem thêm lời giải sách bài tập Toán lớp 10 Cánh diều với cuộc sống hay, chi tiết khác: 

Bài 1: Quy tắc cộng. Quy tắc nhân. Sơ đồ hình cây

Bài 2: Hoán vị. Chỉnh hợp

Bài 3: Tổ hợp

Bài 4: Nhị thức Newton

Bài tập cuối chương 5

Bài 1: Số gần đúng. Sai số