Chứng minh rằng:

a) Trong một cấp số cộng (u_n), mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và số hạng cuối, nếu có) đều là trung bình cộng của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là

\({u_k} = \frac{{{u_{k - 1}} + {u_{k + 1}}}}{2}\) với k ≥ 2.

b) Trong một cấp số nhân, bình phương của mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và số hạng cuối, nếu có) đều là tích của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là

\(u_k^2 = {u_{k - 1}}.{u_{k + 1}}\) với k ≥ 2.

Lời giải:

a) Giả sử (u_n) là cấp số cộng với công sai d. Khi đó với k ≥ 2, ta có:

u_{k – 1} = u_k – d và u_{k + 1} = u_k + d.

Suy ra u_{k – 1} + u_{k + 1} = (u_k – d) + (u_k + d) = 2u_k hay \({u_k} = \frac{{{u_{k - 1}} + {u_{k + 1}}}}{2}\) (đpcm).

b) Giả sử cấp số nhân có công bội là q. Khi đó với k ≥ 2, ta có:

u_{k – 1} = u₁ . q^{k – 1 – 1} = u₁ . q^{k – 2};

u_{k + 1} = u₁ . q^{k + 1 – 1} = u₁ . q^k.

Suy ra u_{k – 1} . u_{k + 1} = (u₁ . q^{k – 2}) . (u₁ . q^k) = \(u_1^2.{q^{k - 2 + k}} = u_1^2.{q^{2k - 2}}\) = (u₁ . q^{k – 1})² = \(u_k^2\) (đpcm).