Chứng minh rằng 4n³ + 9n² – 19n – 30 chia hết cho 6 (n ∈ ℤ).

Đặt A = 4n³ + 9n² – 19n – 30

+) Nếu n là số lẻ ⇒ 4n³ chia hết cho 2

(9n² – 19n) chia hết cho 2 

30 chia hết cho 2

⇒ A chia hết cho 2

+) Nếu n là số chẵn ⇒ 4n³ chia hết cho 2

(9n² – 19n) chia hết cho 2 

30 chia hết cho 2

⇒ A chia hết cho 2

Vậy A luôn luôn chia hết cho 2 với mọi n (1)

TH1: n chia hết cho 3

⇒ 4n³ chia hết cho 3

⇒ 9n² chia hết cho 3

⇒ 19n chia hết cho 3

Mà 30 chia hết cho 3

⇒ A chia hết cho 3

TH2: n chia 3 dư 1

⇒ 4n³ ≡ 4.1³ ≡ 4 ≡ 1 (mod 3)

9n² chia hết cho 3

19n ≡ 19.1 ≡ 1 (mod 3)

30 chia hết cho 3

⇒ A ≡ 1 + 0 – 1 – 0 = 0 (mod 3)

⇒ A chia hết cho 3

TH3: n chia 3 dư 2

⇒ 4n³ ≡ 4.2³ ≡ 4 . 8 ≡ 32 ≡ 2 (mod 3)

9n² chia hết cho 3

19n ≡ 19.2 ≡ 38 ≡ 2 (mod 3)

30 chia hết cho 3

⇒ A ≡ 2 + 0 – 2 – 0 ≡ 0 (mod 3)

⇒ A chia hết cho 3

⇒ A luôn luôn chia hết cho 3 với mọi n (2)

Từ (1), (2) ⇒ A chia hết cho 3.2 = 6 với mọi n (đpcm)