Chứng minh không tồn tại giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \sin x\).

Giả sử tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \sin x\)

Đặt \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \sin x = L\)

Suy ra: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \sin \left( {2x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \sin \left( {2x + 2} \right) = L\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \cos \left( {2x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \cos \left( {2x + 2} \right) = 1 - 2{L^2}\)

Ta có: sin2 = sin(2x + 2 – 2x)

sin2 = sin(2x + 2)cos(2x) – cos(2x + 2)sin(2x)

Suy ra: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \sin 2 = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {\sin \left( {2x + 2} \right)\cos \left( {2x} \right) - \cos \left( {2x + 2} \right)\sin \left( {2x} \right)} \right]\)

⇒ sin2 = L(1 – 2L²) – (1 – 2L²)L

 ⇒ sin2 = 0 (vô lí)

Điều giả sử ban đầu sai.

Vậy không tồn tại giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \sin x\).