Chứng minh: Giá trị của biểu thức $A=\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right).\sqrt{\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)\left(4-\sqrt{15}\right).\sqrt{2-\sqrt{3}}}$  là một số nguyên.

Phương pháp

Dựa vào các hằng đẳng thức và công thức $\sqrt{A^2}=\left[\begin{array}{l}AkhiA\ge 0\\ -AkhiA<0\end{array}\right.$  để biến đổi và rút gọn A.

Cách giải

$\begin{array}{l}A=\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right).\sqrt{\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)\left(4-\sqrt{15}\right).\sqrt{2-\sqrt{3}}}\\ =\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right).\sqrt{\left(\sqrt{3}+1\right)\sqrt{2}\sqrt{2-\sqrt{3}}\left(4-\sqrt{15}\right)}\\ =\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right).\sqrt{\left(\sqrt{3}+1\right)\sqrt{2\left(2-\sqrt{3}\right)}\left(4-\sqrt{15}\right)}\\ =\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right).\sqrt{\left(\sqrt{3}+1\right)\sqrt{4-2\sqrt{3}}\left(4-\sqrt{15}\right)}\\ =\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right).\sqrt{\left(\sqrt{3}+1\right)\sqrt{{\left(\sqrt{3}-1\right)}^2}\left(4-\sqrt{15}\right)}\\ =\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right).\sqrt{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}-1\right)\left(4-\sqrt{15}\right)}\left(do\sqrt{3}-1>0\right)\\ =\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right).\sqrt{\left(3-1\right)\left(4-\sqrt{15}\right)}=\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)\sqrt{2\left(4-\sqrt{15}\right)}\\ =\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right).\sqrt{8-2\sqrt{15}}=\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)\sqrt{5-2\sqrt{5}\sqrt{3}+3}\\ =\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right).\sqrt{{\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)}^2}=\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)\left(do\sqrt{5}-\sqrt{3}>0\right)\\ =5-3=2\end{array}$

Vậy $A=2$  là một số nguyên.