+ Ta dễ dàng chứng minh được $\Delta AMO=\Delta ANO\left(c-g-c\right)\Rightarrow \angle MOA=\angle NOA\left(t/c\right)\left(1\right)$ .

Do $AO\perp BC=\left\{O\right\}$  (gt)

$\Rightarrow \angle CON+\angle NOA=\angle AOC=90°$ và $\angle MOA+\angle MOB=\angle AOB=90°\left(2\right)$ .

Mặt khác: $\angle MOB=\angle COP$  (hai góc đối đỉnh) (3)

Từ (1), (2) và (3) $\Rightarrow \angle NOC=\angle COP$  (cùng phụ với các góc bằng nhau).

Xét $\Delta NOC$  và $\Delta POC$  có: OC chung;$ON=OP;\angle NOC=\angle POC\left(cmt\right)$

$\begin{array}{l}\Rightarrow \Delta NOC=\Delta POC\left(c-g-c\right)\\ \Rightarrow \angle ONC=\angle OPC=90°\Rightarrow OP\perp PC\end{array}$

Vậy CP là tiếp tuyến tại P với đường tròn.

+ Ta có:$\Delta NOC=\Delta POC\Rightarrow CN=CP\left(*\right)$

Xét $\Delta MOB$  và $\Delta POC$  có: $OM=OP;\angle MOB=\angle POC;\angle OMB=\angle OPC=90°$

$\Rightarrow \Delta MOB=\Delta POC\left(g-c-g\right)\Rightarrow BM=CP\left(**\right)$

Từ (*) và (**) $\Rightarrow BM=CN$ .

Vậy $BM=CN$ .