Chứng minh các bất đẳng thức 1/a + 1/b lớn hơn bằng 4/a + b với a > 0 và b > 0.
Chứng minh các bất đẳng thức \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \ge \frac{4}{{a + b}}\) với a > 0 và b > 0.
Lời giải
Xét hiệu:
\(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} - \frac{4}{{a + b}} = \frac{{b\left( {a + b} \right) + a\left( {a + b} \right) - 4ab}}{{ab\left( {a + b} \right)}}\)
\( = \frac{{{a^2} - 2ab + {b^2}}}{{ab\left( {a + b} \right)}}\)
\( = \frac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{{ab\left( {a + b} \right)}} \ge 0\), vì \({\rm{a}}{\rm{, b}} > 0\)
Dấu “ = ” xảy ra khi a = b
Vậy \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \ge \frac{4}{{a + b}}\) với a > 0 và b > 0.