Chu vi của một đa giác là 213 cm, số đo các cạnh của nó lập thành cấp số cộng với công sai d = 7 cm và cạnh lớn nhất bằng 53 cm. Tính số cạnh của đa giác đó.

Gọi số cạnh của đa giác là n (n ∈ ℕ*).

Số đo các cạnh của đa giác là u1, u2, u3, …, un (với 0 < u1 < u2 < … < un).

Khi đó ta có:

$\left\{\begin{array}{l}{u}_1+u_2+\dots +u_n=S_n=213\\ u_n=53\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}\frac{n}{2}\left(u_1+u_n\right)=213\\ u_1+\left(n-1\right)d=53\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}n\left(u_1+53\right)=426\left(1\right)\\ u_1+7\left(n-1\right)=53\left(2\right)\end{array}\right.\right.$

Từ (2) suy ra u1 = 53 – 7(n – 1), thay vào (1) ta được

n[53 ‒ 7(n ‒ 1) + 53] = 426

⇔ n(113 ‒ 7n) = 426

⇔ 7n2 – 113n + 426 = 0

⇔ n = 6 (chọn) hoặc $n=\frac{71}{7}$ (loại)

Vậy đa giác có 6 cạnh.