Cho x > 0, y > 0 thỏa mãn xy = 6. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

 $Q=\frac{2}{x}+\frac{3}{y}+\frac{6}{3x+2y}$.

Xét  $3x+2y\ge 2\sqrt{3x.2y}=2\sqrt{6.6}=12$ (với x, y > 0)

Áp dụng BĐT AM - GM với 3x + 2y ≥ 12 ta có:

$Q=\frac{3x+2y}{6}+\frac{6}{3x+2y}=\frac{3x+2y}{6}+\frac{24}{3x+2y}-\frac{18}{3x+2y}$

$\ge 2\sqrt{\frac{3x+2y}{6}.\frac{24}{3x+2y}}-\frac{18}{12}=2\sqrt{4}-\frac{3}{2}=\frac{5}{2}$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:

$\left\{\begin{array}{l}3x=2y\\ xy=6\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=\frac{2y}{3}\\ \frac{2y^2}{3}=6\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=\frac{2y}{3}\\ y^2=9\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=2\\ y=3\left(doy>0\right)\end{array}\right.$

Vậy giá trị nhỏ nhất của Q là  $\frac{5}{2}$ đạt được khi x = 2, y = 3.