Cho x, y thỏa mãn x – 2y + 2 = 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

\[T = \sqrt {{{(x - 3)}^2} + {{(y - 5)}^2}} + \sqrt {{{(x - 5)}^2} + {{(y - 7)}^2}} \].

Gọi M(x; y) thỏa mãn x − 2y + 2 = 0 ⇒ M thuộc đường thẳng x − 2y + 2 = 0 (d)

Gọi A(3; 5); B(5; 7)

Þ T = MA + MB

Ta cần tìm điểm M ∈ d sao cho MA + MB nhỏ nhất.

Dễ thấy A, B nằm cùng phía so với đường thẳng d.

Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua d ta có: MA=MA′

Þ MA + MB = MA′ + MB ≥ A′B

Þ MA + MB nhỏ nhất Û M, A′, B thẳng hàng hay M = A′B ∩ d

Đường thẳng AA′  đi qua A và vuông góc với d nên có phương trình :

2x + y – 11 = 0 (d′)

Gọi H = d ∩ d’

Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ phương trình

\[\left\{ \begin{array}{l}2x + y - 11 = 0\\x - 2y + 2 = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y = 3\end{array} \right.\]

Þ H(4; 3) là trung điểm của AA’

x_A′  = 2x_H − x_A = 5

y_A′ = 2y_H − y_H = 1
Þ A’(5; 1)

Phương trình đường thẳng A′B là: x = 5

Þ MA + MB nhỏ nhất ⇔ M = A′B ∩ d

Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ phương trình

\[\left\{ \begin{array}{l}x - 2y + 2 = 0\\x = 5\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 5\\y = \frac{7}{2}\end{array} \right.\]

\[ \Rightarrow M\left( {5;\,\,\frac{7}{2}} \right)\]

Þ T_min = 6

Vậy giá trị nhỏ nhất của T là 6.