Cho x, y là hai số thực tùy ý, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:

P = x² + 5y² + 4xy + 6x + 16y + 32.

P = x² + 5y² + 4xy + 6x + 16y + 32

⇔ P = x² + (4xy + 6x) + 5y² + 16y + 32

⇔ P = x² + 2x(2y + 3) + (2y + 3)² – (2y + 3)² + 5y² + 16y + 32

⇔ P = [x + (2y + 3)]² – 4y² – 12y – 9 + 5y² + 16y + 32

⇔ P = (x + 2y + 3)² + y² + 4y + 23

⇔ P = (x + 2y + 3)² + (y + 2)² + 19

Vì (x + 2y + 3)² ≥ 0 với mọi x, y ∈ R

(y + 2)² ≥ 0 với mọi y ∈ R

⇒ P = (x + 2y + 3)² + (y + 2)² + 19 ≥ 19 với mọi x, y ∈ R

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x + 2y + 3 = 0 và y + 2 =0

Suy ra, x = 1 và y = –2

Vậy P đạt giá trị nhỏ nhất bằng 19 tại x = 1 và y = –2.