Cho x, y  là các số dương thỏa mãn x lớn hơn hoặc bằng 2y.  Tìm giá trị nhỏ

Trả lời

Phương pháp

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si: với $a,b>0$  thì  $a+b\ge 2\sqrt{ab}$

Cách giải

Ta có:  $x,y>0;x\ge 2y\Rightarrow \frac{x}{y}\ge 2$

 $$\begin{gathered} M=\frac{x^2+y^2}{xy}=\frac{x^2}{xy}+\frac{y^2}{xy}=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=\frac{x}{4y}+\frac{y}{x}+\frac{3x}{4y} \\ \ge 2\sqrt{\frac{x}{4y}.\frac{y}{x}}+\frac{3x}{4y}=2.\sqrt{\frac{1}{4}}+\frac{3}{4}.2=\frac{5}{2} \end{gathered}$$

Dấu “=” xảy ra khi  $\left\{\begin{array}{l}\frac{x}{4y}=\frac{y}{x}\\ \frac{x}{y}=2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{x}^2=4y^2\\ x=2y\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}\left[\begin{array}{l}x=2y\\ x=-2y\iff x=2y\end{array}\right.\\ x=2y\end{array}\right.$

Vậy $M_{\min }=\frac{5}{2}$  khi  $x=2y.$