Cho véc tơ $\overrightarrow{a}=\left(1;-2\right)$ . Với giá trị nào của y thì véc tơ $\overrightarrow{b}=\left(3;y\right)$ tạo với véc tơ $\overrightarrow{a}$ một góc 45°.

véc tơ $\overrightarrow{b}=\left(3;y\right)$ tạo với véc tơ $\overrightarrow{a}=\left(1;-2\right)$ một góc 45°:

cos45° = $\frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|}$  ⇔ $\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{3-2y}{\sqrt{5}.\sqrt{9+y^2}}$ ⇔ $\frac{\sqrt{10}}{2}.\sqrt{9+y^2}=3-2y$

⇔ $\left\{\begin{array}{l}3-2y\ge 0\\ \frac{5}{2}\left(9+y^2\right)={\left(3-2y\right)}^2\end{array}\right.$

⇔ $\left\{\begin{array}{l}y\le \frac{3}{2}\\ 45+5y^2=18-24y+8y^2\end{array}\right.$

⇔ $\left\{\begin{array}{l}y\le \frac{3}{2}\\ 3y^2-24y-27=0\end{array}\right.$

⇔ $\left\{\begin{array}{l}y\le \frac{3}{2}\\ \left[\begin{array}{l}y=-1\\ y=9\end{array}\right.\end{array}\right.$

⇔ y = – 1