Cho (un) là cấp số cộng có u2 + u4 = 22, u1 . u5 = 21 và công sai d dương Tính tổng: u1 + u5 + u9
Cho (un) là cấp số cộng có u2 + u4 = 22, u1 . u5 = 21 và công sai d dương.
Tính tổng: u1 + u5 + u9 + ... + u101.
Ta có u2 + u4 = (u1 + d) + (u1 + 3d) = 2u1 + 4d = 22, suy ra 4d = 22 – 2u1.
Lại có u1 . u5 = u1 . (u1 + 4d) = u1 . (u1 + 22 – 2u1) = u1 . (22 – u1).
Mà u1 . u5 = 21, do đó u1 . (22 – u1) = 21 ⇔ 22u1 – u12 – 21 = 0 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\{u_1} = 21\end{array} \right.\).
Với u1 = 1, suy ra \(d = \frac{{22 - 2{u_1}}}{4} = \frac{{22 - 2.1}}{4} = 5 > 0\) (thỏa mãn).
Với u1 = 21, suy ra \(d = \frac{{22 - 2{u_1}}}{4} = \frac{{22 - 2.21}}{4} = - 5 < 0\) (không thỏa mãn).
Vậy cấp số cộng (un) có số hạng đầu u1 = 1 và công sai d = 5.
Ta có u5 – u1 = (u1 + 4d) – u1 = 4d, tương tự u9 – u5 = 4d, ...
Do đó các số u1, u5, u9, ..., u100 lập thành một cấp số cộng có số hạng đầu u1 = 1 và công sai d' = 4d = 4 . 5 = 20.
Lại có (101 – 1) : 4 + 1 = 26 nên tổng u1 + u5 + u9 + ... + u101 gồm 26 số hạng.
Do vậy, u1 + u5 + u9 + ... + u101 \( = \frac{{\left[ {2{u_1} + \left( {26 - 1} \right)d'} \right].26}}{2} = \frac{{\left( {2.1 + 25.20} \right).26}}{2} = 6\,526\).