Cho dãy số (u_n) biết u₁ = – 2, \({u_{n + 1}} = \frac{{{u_n}}}{{1 - {u_n}}}\) với n ∈ ℕ^*. Đặt \({v_n} = \frac{{{u_n} + 1}}{{{u_n}}}\) với n ∈ ℕ^*.

Tìm công thức của v_n, u_n tính theo n.

Ta có \({v_n} = {v_1} + \left( {n - 1} \right)d = \frac{1}{2} + \left( {n - 1} \right).\left( { - 1} \right) = \frac{1}{2} - n + 1 = \frac{3}{2} - n\).

Vì \({v_n} = 1 + \frac{1}{{{u_n}}}\) nên \(1 + \frac{1}{{{u_n}}} = \frac{3}{2} - n\)\( \Leftrightarrow \frac{1}{{{u_n}}} = \frac{1}{2} - n\)\( \Leftrightarrow {u_n} = \frac{2}{{1 - 2n}}\).

Vậy \({v_n} = \frac{3}{2} - n\) và \({u_n} = \frac{2}{{1 - 2n}}\).