Cho dãy số (u_n) biết u₁ = – 2, \({u_{n + 1}} = \frac{{{u_n}}}{{1 - {u_n}}}\) với n ∈ ℕ^*. Đặt \({v_n} = \frac{{{u_n} + 1}}{{{u_n}}}\) với n ∈ ℕ^*.

Từ \({v_n} = 1 + \frac{1}{{{u_n}}}\), suy ra \(\frac{1}{{{u_n}}} = {v_n} - 1\).

Khi đó ta có \(S = \frac{1}{{{u_1}}} + \frac{1}{{{u_2}}} + \frac{1}{{{u_3}}} + ... + \frac{1}{{{u_{20}}}}\)

          = (v₁ – 1) + (v₂ – 1) + (v₃ – 1) + ... + (v₂₀ – 1)

          = (v₁ + v₂ + v₃ + ... + v₂₀) – 20.

Mà v₁ + v₂ + v₃ + ... + v₂₀ là tổng 20 số hạng đầu của cấp số cộng (v_n) nên

v₁ + v₂ + v₃ + ... + v₂₀ = \(\frac{{\left[ {2{v_1} + \left( {20 - 1} \right)d} \right].20}}{2} = \frac{{\left( {2.\frac{1}{2} + 19.\left( { - 1} \right)} \right).20}}{2} = - 180\).

Do đó, S = – 180 – 20 = – 200.