Cho $u_n=\frac{1+a+a^2+\mathrm{...}+a^n}{1+b+b^2+\mathrm{...}+b^n}$  với a, b là các số thực thỏa mãn |a| < 1, |b| < 1. Tính  $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n$ .

Áp dụng công thức tính tổng n số hạng đầu của cấp số nhân, ta có:

$u_n=\frac{1+a+a^2+\mathrm{...}+a^n}{1+b+b^2+\mathrm{...}+b^n}$$=\frac{\frac{1-a^{n+1}}{1-a}}{\frac{1-b^{n+1}}{1-b}}=\frac{1-b}{1-a}.\frac{1-a^{n+1}}{1-b^{n+1}}$

Do đó,         $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(\frac{1-b}{1-a}.\frac{1-a^{n+1}}{1-b^{n+1}}\right)=\frac{1-b}{1-a}$    (do |a| < 1, |b| < 1).