Cho tứ giác ABCD. Các điểm M, N theo thứ tự thay đổi trên các cạnh AD, BC sao cho AM/AD=CN/CB

Trả lời

Đặt  $\frac{AM}{AD}=\frac{CN}{CB}=k\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{AM}=k.\overrightarrow{AD}\\ \overrightarrow{CN}=k.\overrightarrow{CB}\end{array}\right.$ với k là hằng số

Ta có:

$\overrightarrow{EI}=\overrightarrow{EC}+\overrightarrow{CN}+\overrightarrow{NI}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CN}+\frac{1}{2}\overrightarrow{NM}$

$=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}\right)+\overrightarrow{CN}+\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{NC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DM}\right)$

$=\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}+\frac{1}{2}\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CN}+\frac{1}{2}\overrightarrow{NC}+\frac{1}{2}\overrightarrow{CD}+\frac{1}{2}\overrightarrow{DM}$

$=\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}+\frac{1}{2}\overrightarrow{CN}+\frac{1}{2}\overrightarrow{DM}$

$=\frac{1}{2}\overrightarrow{AM}+\frac{1}{2}\overrightarrow{CN}=\frac{k}{2}\left(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}\right)$ (1)

$\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{EC}+\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BF}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BD}$

$=\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}+\frac{1}{2}\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}+\frac{1}{2}\overrightarrow{CD}$

$=\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}+\frac{1}{2}\overrightarrow{CB}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}\right)$ (2)

Từ (1) và (2) ta suy ra:  $\overrightarrow{EF}=k.\overrightarrow{EI}$.

Suy ra E; F; I thẳng hàng hay I luôn thuộc đường thẳng EF cố định.